Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 96

         Из анализа таблицы декодирования можно сделать следующие выводы:

1. Синдромы имеют значения

,

,

,

т.е. все синдромы разные и вид синдрома однозначно указывает смежный класс.

2. Код исправляет не все образцы одиночных ошибок. Например, комбинации           0 0 0 0 1 и 0 1 0 0 0, также как и 0 0 1 0 0 и 1 0 0 0 0 принадлежат одному смежному классу, следовательно, обе пары этих образцов ошибок не могут быть исправлены. Это понятно, так как d_min этого кода равно 2, а для исправления всех вариантов одиночных ошибок необходимо иметь d_min =3.

         Действительно, мы находим в смежном классе с образующим 0 0 0 0 1 еще одну комбинацию веса 1 – 0 1 0 0 0, т.е. синдрому S₁ = 0 1 соответствует два равновероятных образца однократных ошибок; синдрому S₂ = 1 0 также соответствуют два образца равновероятных однократных ошибок. Только лишь синдрому S₃ = 1 1 соответствует единственный образец однократной ошибки 0 0 0 1 0.

         Таким образом, однозначно исправляются только лишь комбинации, принадлежащие одному смежному классу, т.е. ошибка вида 0 0 0 1 0  данным кодом исправляется.

5.3.3. Укорочение кода

На основе группового (n, k) – кода можно построить также групповой (n- i, k-i) – код, если в каждой кодовой комбинации (n, k) – кода исключить i информационных символов.

         Порождающая матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы матрицы G_{(n, k)}  вычеркиванием i последних строк и i последних столбцов. Проверочная матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы Н_(n,k)  вычеркиванием i последних столбцов. Поскольку при этом число линейно зависимых столбцов матрицы проверок уменьшиться не может, то d_min нового кода и его корректирующие свойства не хуже, чем у исходного кода.