Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 117

В примере 6.2. один из идеалов порождается векторами {g(x)}={1+x} и {xg(x)}={x+x²}, а другой – {1+x+x²}.

Многочлен g(x) минимальной степени, такой, что его класс вычетов {g(x)} принадлежит идеалу, называет порождающим многочленом идеала.

г) Понятие о конечных полях

Полем называют множество элементов, на котором определены две операции. Одна из них называется сложением и обозначается a+b, а другая – умножением и обозначается a×b, даже если эти операции не являются обычными операциями сложения и умножения чисел. Для того чтобы множество элементов, на котором заданы операции сложения и умножения, было полем, необходимо, чтобы по каждой из этих операций выполнялись все групповые аксиомы, а также выполнялся дистрибутивный закон, т.е. для трех любых элементов поля а, b, с были справедливы равенства а×(b+с)=аb+ас и (b+с)а=bа+са.

Кроме того, по каждой операции группа должна быть коммутативной, т.е. должно выполняться, а+b=b+a и аb=bа. Следует заметить, что групповые свойства по операции умножения справедливы для всех ненулевых элементов поля.

Поля с конечным числом элементов q называют полями Галуа по имени их первого исследователя Эвариста Галуа и обозначают GF(q).

Число элементов поля q называют порядком поля. Конечные поля используются для построения большинства известных кодов и их декодирования.

В зависимости от значения q различают простые или расширенные поля. Поле называют простым, если q – простое число. Для обозначения простых чисел будем использовать символ p.

Простое поле образуют числа по модулю p: 0, 1, 2,…, p–1. Операции сложения и умножения в простых полях выполняются по модулю p.

Наименьшее число элементов, образующих поле, равно 2. Такое поле должно содержать 2 единичных элемента: 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения. Это поле (GF 2), или двоичное.