Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 125

Поле GF(2⁴), представленное в табл. 6.1, построено по модулю α⁴+α+1. Примитивный элемент поля a является корнем этого многочлена.

Многочлен, корнем которого является примитивный элемент поля, называется примитивным многончлеом. Если в качестве Π(α) выбрать примитивный неприводимый многочлен степени m над полем GF(2), то получим поле GF(2^m) из всех 2^m двоичных последовательностей длины m.

Выше было показано, что GF(4) нельзя представить в виде совокупности чисел 0, 1, 2, 3. Построим его как расширенное поле по модулю многочлена Π(α) =α²+α+1 .

В табл. 6.2 элементы этого поля представлены различными способами. Здесь принято, что примитивный элемент a является корнем Π(a), т.е. a²+a+1=0.

Таблица 6.2

Правила сложения и умножения в этом поле приведены ниже.

                              Таблица сложения               Таблица умножения