Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 111

4. Построить порождающую матрицу для итеративного кода, в котором по строкам и столбцам используется (8, 7) – код с проверкой на четность.

Тема 6. Двоичные циклические (n,k) - коды

6.1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования.

(Продолжение раздела 5.2.1.)

Выше, в разделе 5.2.1 были введены понятия группы и векторного пространства, которые лежат в основе определения и описания групповых кодов. Для изучения важного подкласса групповых кодов – циклических кодов – необходимо знакомство и с другими алгебраическими системами, такими как кольцо и поле.

в) Кольцо

Кольцом R называют множество элементов, на котором определены две операции – сложение a + b и умножение ab. Для того, чтобы R было кольцом оно должно удовлетворять следующим требованиям:

R.1 Множество R является абелевой группой по операции сложения (аддитивная абелева группа).

R.2 (замкнутость). Для любых двух элементов a и b из множества R определено произведение ab, которое является элементом R.

R.3 (ассоциативный закон). Для любых трех элементов a, b, и c из R a(bc)=(ab)c.

R.4 (дистрибутивный закон). Для любых трех элементов a, b, и c  из множества R справедливы равенства a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca.

Кольцо называют коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. для любых двух элементов R выполняется равенство ab=ba.

В теории групп очень важную роль играет понятие подгруппы. В теории колец соответствующую роль играет понятие идеала. Идеалом I называют подмножество элементов кольца R, обладающее следующими двумя свойствами:

1). I является подгруппой аддитивной группы кольца R;

2). Для любого элемента a из I  и любого элемента r из R произведения ar  и ra принадлежат I.

Поскольку идеал является подгруппой, могут быть образованы смежные классы (см. основные свойства группы). В этом случае смежные классы называют классами вычетов. Идеал образует первую строку разложения с нулевым элементом (единичным элементом по операции сложения) слева. Далее любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса получают прибавлением образующего к каждому элементу идеала: