Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 113

Все свойства смежных классов верны также для классов вычетов:{r}+{s}={r+s} и умножение классов вычетов {r}{s}={rs}

В высшей алгебре доказывается, что классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо. Это кольцо называют кольцом классов вычетов.

В теории кодирования важную роль играют кольца целых чисел и кольца многочленов.

Основные свойства кольца:

1.  Совокупность целых чисел образует идеал тогда и только тогда, когда она состоит из всех чисел, кратных некоторому целому числу.

Пусть m – наименьшее целое положительное число в идеале и s – любое другое кольцо в идеале. На основе алгоритма деления Евклида запишем выражение для наибольшего общего делителя чисел m и s:

d=am+bs,

где a и b - целые числа.

Из приведенного равенства вытекает, что d также принадлежит идеалу. Действительно, так как m – наименьшее число в идеале, то m≤d, а так как d делит m, то d≤m. Значит m=d и s кратно m.

Идеал, который состоит из всех чисел, кратных m и самого m, обозначают (m).

2. Каждый класс вычетов по модулю m содержит либо 0, либо целое положительное число, не превосходящее m. Нуль является элементом идеала, а все целые положительные числа, не превосходящие m, принадлежат различным классам вычетов.

Доказательство этого свойства основывается на рассуждениях, приведенных в примере 5.2.2.

Построенные в этом примере смежные классы являются также и классами вычетов по идеалу (2) и образуют кольцо целых чисел по модулю 2.

               Сформулированные выше свойства колец целых чисел полностью справедливы и для многочленов. Сходство в строении и свойствах кольца целых чисел и кольца многочленов обусловлены тем, что оба они являются частными случаями алгебраического образования, известного как евклидово кольцо. Рассмотрим основные свойства колец многочленов, необходимые для понимания структуры циклических кодов.