Все свойства смежных классов верны также для классов вычетов:{r}+{s}={r+s} и умножение классов вычетов {r}{s}={rs}
В высшей алгебре доказывается, что классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо. Это кольцо называют кольцом классов вычетов.
В теории кодирования важную роль играют кольца целых чисел и кольца многочленов.
Основные свойства кольца:
1. Совокупность целых чисел образует идеал тогда и только тогда, когда она состоит из всех чисел, кратных некоторому целому числу.
Пусть m – наименьшее целое положительное число в идеале и s – любое другое кольцо в идеале. На основе алгоритма деления Евклида запишем выражение для наибольшего общего делителя чисел m и s:
d=am+bs,
где a и b - целые числа.
Из приведенного равенства вытекает, что d также принадлежит идеалу. Действительно, так как m – наименьшее число в идеале, то m≤d, а так как d делит m, то d≤m. Значит m=d и s кратно m.
Идеал, который состоит из всех чисел, кратных m и самого m, обозначают (m).
2. Каждый класс вычетов по модулю m содержит либо 0, либо целое положительное число, не превосходящее m. Нуль является элементом идеала, а все целые положительные числа, не превосходящие m, принадлежат различным классам вычетов.
Доказательство этого свойства основывается на рассуждениях, приведенных в примере 5.2.2.
Построенные в этом примере смежные классы являются также и классами вычетов по идеалу (2) и образуют кольцо целых чисел по модулю 2.
Сформулированные выше свойства колец целых чисел полностью справедливы и для многочленов. Сходство в строении и свойствах кольца целых чисел и кольца многочленов обусловлены тем, что оба они являются частными случаями алгебраического образования, известного как евклидово кольцо. Рассмотрим основные свойства колец многочленов, необходимые для понимания структуры циклических кодов.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.