Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 114

3. Совокупность многочленов образует идеал тогда и только тогда, когда она содержит все многочлены кратные некоторому многочлену.

Идеал, образованный всеми многочленами, кратными f(x) обозначают (f(x)). Кольцо классов вычетов, образованных по этому идеалу, называют кольцом многочленов по модулю f(x).

 4. Каждый класс вычетов по модулю многочлена f(x) степени n содержит либо 0, либо многочлен степени меньшей, чем n. Нуль является элементом идеала, а все многочлены степеней, меньших, чем n, принадлежат различным классам вычетов.

Пример 6.1. Особую роль в теории циклических кодов играет кольцо многочленов по модулю двучлена xⁿ+1

Рассмотрим классы вычетов многочленов по модулю двучлена третьей степени – x³+1. В соответствии со свойством 4 каждый класс вычетов содержит либо 0, либо многочлен степени меньшей, чем 3. Как и ранее рассматриваем многочлены с коэффициентами в виде двоичных элементов. Приведенная ниже таблица отражает содержание классов вычетов многочленов по модулю многочлена x³+1