Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 159

Для примера на рис.6.8 приведена структурная схема генератора последовательности максимальной длины, построенной на основе .

Число ячеек регистра сдвига равно степени h(x), т.е шести. Число сумматоров по модулю 2 на единицу меньше числа знаков “+” в записи многочлена h(x), т.е. один. Обратные связи определяются ненулевыми коэффициентами многочлена

д) Схема генератора поля Галуа GF(2^m)

Регистр сдвига с обратными связями, изображенный на рис. 6.4, реализующий деление любого многочлена на многочлен g(x) степени n-k=m, после завершения деления содержит остаток от деления

r(x) = r₀x⁰+r₁x¹+r₂x²+…+r_m-1x₀^m-1.

Он может быть представлен в виде последовательности длины m-(r₀, r₁, r₂, .. ,r_m-1)

Многочлен r(x) является представителем классов вычетов многочленов по модулю многочлена g(x). При этом каждый класс вычетов содержит либо 0, либо многочлен степени m-1 и менее. Ноль является элементом идеала, а все многочлены r(x) степени m-1  и менее принадлежат различным классам вычетов. Общее число классов вычетов вместе с идеалом равно 2^m.

В том случае, когда многочлен g(x) – неприводим, множество {r(x)} с коэффициентами r_i из поля GF(2) образует поле Галуа GF(2^m). Как известно ненулевые элементы этого поля образуют циклическую группу

α⁰, α¹,…,α^2m-2,α^2m-1=α⁰,

где α -класс вычетов, содержащий r(x) = x, т.е. корень g(x)  и примитивный элемент поля.

Определим, каким образом можно преобразовать схему рис 6.4 в генератор элементов поля GF(2^m). В схеме деления на g(x) каждый из остатков r(x) может быть получен в результате подачи xⁱ  на вход схемы и осуществления процедуры деления в течение i тактов, т.е. остаток от деления появится точно на i- м такте.