Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 138

 и

,

т.е. действительно (7,6)-код с  является кодом с одной проверкой на четность по всем элементам кодовой комбинации. Распространим результат рассмотренного примера на общий случай.

В общем случае (n, n-1) – кода при любом значении n проверочный многочлен находится как . Так как двучлены  и  имеют общий корень x=1, то справедливо

,

т.е. многочлен  порождает (n, n-1) – код длины n с проверкой на четность по всем элементам.

б) Порождающий многочлен для общего случая циклического кода

Теорема 6.2 позволяет осуществить выбор порождающего многочлена для БЧХ кода и по его корням определить корректирующие свойства этого кода.

Пример 6.8. Порождающий многочлен кода (7,4) из примера 6.6 имеет своими корнями и . Определим корректирующие свойства этого кода.

Находим максимальное число последовательных степеней корней порождающего многочлена. Это элементы  и . Здесь =1, а , откуда d = 4-= 3.

Использование теоремы 6.2 для выбора порождающих многочленов циклических кодов, а также для определения корректирующих свойств циклических кодов предполагает знание корней многочленов, которые могут быть выбраны в качестве порождающих многочленов кодов. Поскольку порождающий многочлен циклического (n, k) – кода должен быть делителем , то для нахождения всех возможных кодов длины n, выбора порождающих многочленов и установления их корректирующих свойств необходимо знание сомножителей  и их корней.