Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 116

x³+1=(x+1)(x²+x+1).

Следовательно, имеется два подмножества последовательностей длины 3, образующие идеалы рассматриваемого кольца. Один идеал включает все классы вычетов кратные {1+x}: {0}, {1+x}, {1+x²}, {x+x²}, отображаемые двоичными последовательностями (000), (110), (101) и (011) соответственно. Второй идеал состоит из классов вычетов {0} и {1+x+x²}, отображаемых двоичными последовательностями (000) и (111).

Представляет интерес сравнить полученные идеалы с результатами решения задач 2 и 5 из раздела 5.2.5.

         5. Пусть xⁿ+1=g(x)·h(x), где h(x)-многочлен степени k. Тогда идеал, порожденный классом вычетов {g(x)} в кольце многочленов по модулю xⁿ+1, имеет размерность k.

               Действительно, многочлен g(x),порождающий идеал, имеет степень n-k, а значит среди классов вычетов кольца многочленов по модулю xⁿ+1 существуют классы вычетов {g(x)},         {xg(x)},…{x^k-1g(x)},отображаемые k линейно независимыми векторами. При этом любой класс вычетов может быть представлен вектором, полученным линейной комбинацией. Например, S(x) - многочлен минимальной степени в своей классе вычетов и S(x)=g(x)·q(x)=g(x)(q₀+q₁x+…+q_k-1x^k-1) и {S(x)}=q₀{g(x)}+q₁{xg(x)}+…+q_k-1{x^k-1g(x)}, т.е k векторов {g(x)}, {xg(x)},…, {x^k-1g(x)} порождают идеал. Значит размерность идеала, равна k.