Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 128

Разложение бесконечного множества многочленов на классы вычетов по модулю  единственно и каждый класс вычетов однозначно определяется любым многочленом, принадлежащим данному классу. Это относится и к первому классу вычетов, содержащему 0 и , который по отношению к остальным классам вычетов рассматривается как единичный элемент, т.е. . (Аналогично тому, как при сложении по модулю 2 принимается 2=0). Полное множество классов вычетов рассматривается как множество всех комбинаций длины n их представляющих. В качестве кодовых комбинаций рассматриваются те классы вычетов, которые содержат  многочлены, кратные g(x), и совокупность всех многочленов, кратных g(x), как было показано выше, в свою очередь образует подгруппу (идеал) множества всех классов вычетов многочленов по модулю . Следовательно, классы вычетов многочленов в свою очередь могут быть разложены на смежные классы по подгруппе, образующей циклический код. Так как 0 принадлежит к этой подгруппе, то по отношению ко всем смежным классам разложения классов вычетов по подгруппе, образующей код, справедливо , где  произвольный многочлен кольца классов вычетов многочленов по модулю . Нетрудно показать, что g(x) должен быть делителем .

Действительно, поскольку по определению g(x) имеет степень, меньшую, чем n, то можно записать результат деления  на g(x) в виде следующего равенства

, где

 - остаток от деления, степень которого меньше степени g(x), а q(x) - частное от деления. Учитывая, что , получаем , а так как мы установили выше, что , то и , т.е. g(x) делит  без остатка. Значит, g(x) – сомножитель двучлена .