Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 82

         Для групповых кодов существует специальное обозначение (n, k) – код, где n - длина кодовой комбинации, k - число информационных элементов.

5.2.4. Матричное описание групповых кодов

Отождествление кодовых комбинаций групповых кодов с векторами позволяет упростить их задание и описание.

Известно, что векторное пространство однозначно определяется своим базисом. Поэтому естественно стремление использовать базис векторного пространства для описания (n, k) – кода, соответствующего данному векторному пространству. Используя понятие базиса, можно утверждать, что для описания (n, k) – кода достаточно использовать k линейно независимых кодовых комбинаций, т.е. справедливо следующее:

Свойство 5.2. Групповой (n, k) – код полностью определяется набором из k линейно независимых комбинаций, принадлежащих этому коду.

Обычно эти k линейно независимые комбинации записывают в виде прямоугольной таблицы - матрицы, имеющей k строк и n столбцов, где строками являются кодовые комбинации.

По аналогии с векторным пространством все остальные кодовые комбинации могут быть получены путем линейной комбинации строк построенной матрицы. В связи с этим указанную прямоугольную матрицу принято называть порождающей матрицей группового кода.

Для порождающей матрицы будем использовать обозначение G _{(n, k)}. Размерность порождающей матрицы (k n).

Пример 5.5. Построим (5, 3) – код. Такой код должен иметь  кодовых комбинаций. В качестве информационной части используем всевозможные двоичные последовательности длины три. Условимся первые два разряда в кодовой комбинации  отводить под избыточные элементы; а три последние  под информационные. Пусть проверочные элементы формируются как сумма по модулю 2 определенных информационных элементов: .