Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 87

         Широкое применение нашел также и другой способ матричного описания кодов. Сущность его сводится к следующему. Если записать правило формирования каждого их проверочных соотношений кодовой комбинации в виде вектора из нулей и единиц, где единицы указывают, какие элементы кодовой комбинации охвачены проверкой на четность, то получим n-k векторов. Такие векторы получили название проверочных. Так как каждый проверочный вектор отражает проверку на четность, введенную для любой кодовой комбинации, то справедливо следующее.

         Свойство 5.3. Скалярное произведение любой кодовой комбинации на проверочный вектор равно нулю.

         Действительно, обозначим проверочный вектор через , а кодовую комбинацию через , тогда их скалярное произведение равно  . Сумма берется по всем слагаемым, в которых , т.е. сводится к сумме элементов кодовой комбинации, охваченных проверкой на четность, а потому эта сумма должны дать 0. Записывая проверочные вектора в прямоугольную таблицу, получим проверочную матрицу кода, обозначаемую H_{(n, k)} и имеющую размерность .  Единицы на позициях, соответствующих информационным элементам в кодовой комбинации, указывают, какие информационные элементы участвуют в формировании проверочного элемента, а единица на позициях избыточных элементов указывает, какой именно проверочный элемент образован данной суммой информационных элементов  Так как каждый полученный таким образом проверочный вектор отличается от других, по крайней мере, видом элементов, соответствующих избыточным разрядам, то все (n-k) проверочных вектора являются линейно независимыми. Это означает, что матрица H_{(n, k)} является базисом подпространства n – мерного векторного пространства размерности (n-k), каждый вектор которого ортогонален любой кодовой комбинации. Такое подпространство называют нулевым пространством кода или двойственным кодом.