Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 89

         Вид матрицы  устанавливается на основе следующего свойства.

         Свойство 5.4.Если  есть порождающая матрица систематического (n, k) – кода в канонической форме, то нулевое пространство этого кода порождается матрицей .

         Доказательство этого свойства основывается на следующих рассуждениях. Поскольку любая кодовая комбинация при умножении на транспонированную проверочную матрицу должна давать (n-k) – разрядный нулевой вектор, то этот же результат должен быть получен при умножении каждой строки порождающей матрицы на проверочную матрицу, а, следовательно, и умножение матрицы  на матрицу  дает нулевую матрицу размеров , т.е. справедливо равенство .

         Решение данного матричного уравнения и позволяет установить вид проверочной матрицы:

,

т.е.  или R'=.

         Итак, порождающая матрица (n, k) – кода является сокращенной записью кода. Проверочная матрица указывает соотношение между избыточными и информационными элементами в каждой кодовой комбинации. Между порождающей и проверочной матрицами в канонической форме существует жесткая связь,  на основе которой знание одной матрицы позволяет построить другую.

Пример 5.8. Проиллюстрируем выполнение соотношений  и  для кода (5, 3). Порождающая матрица и транспонированная матрица проверок имеют вид:

Вычисляем их произведение: