Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 145

6.7.  Кодирующие и декодирующие устройства циклических кодов

6.7.1 Процедура кодирования и декодирования для циклических кодов

Преобразование комбинации первичного k – разрядного кода в комбинацию циклического (n, k) – кода может быть осуществлено либо при помощи порождающего многочлена g(x), либо при помощи проверочного многочлена h(x).

а) Процедура кодирования для циклического кода по g(x).

Любой циклический (n, k) – код может быть получен в результате следующего процесса. Пусть  - многочлен степени n-1, в качестве коэффициентов которого при степенях  выбраны информационные символы кодовой комбинации циклического (n, k) – кода, а коэффициенты при степенях х, меньших, чем n-k, равны 0. Тогда результат деления  на порождающий многочлен кода g(x), степень которого, как известно, равна n-k, может быть представлен в виде

,

где степень r(x) меньше n-k.

Образуем новый многочлен , у которого коэффициенты при степенях х, меньших n-k, есть соответствующие коэффициенты r(x), а коэффициенты при остальных степенях есть соответствующие коэффициенты .

Для полученного многочлена справедливо

и так как его степень не превышает n-1, то по определению 2 циклического кода полученный подобным образом вектор  принадлежит циклическому (n, k) – коду.

В векторе  коэффициентами при степенях х, равных n-k и старше, являются информационные элементы кодовой комбинации, а коэффициентами при младших степенях – проверочные (см. рис. 6.0).