Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 75

Итак, множество комбинаций 000, 001, 010 и 011 является группой по операции поразрядного сложения по модулю 2.

Группа называется абелевой в честь известного норвежского математика Н.Х. Абеля (1802-1829), если множество G по введенной операции обладает еще и следующими свойствами: , т.е. выполняется переместительный (коммутативный) закон. Группы, рассмотренные в предыдущих примерах, являются абелевыми.

Важным понятием в теории групп является понятие подгруппы.

Если множество элементов  составляет группу и некоторая часть этого множества (Н) также обладает всеми групповыми свойствами, то эту часть элементов группы называют подгруппой. Слово “подгруппа” означает “группа внутри группы”. Для того, чтобы установить, является ли Н подгруппой  необходимо проверить замкнутость и наличие обратных элементов. Если множество Н замкнуто относительно заданной в группе операций и содержит обратные элементы, то это множество содержит и единичный элемент группы, а сочетательный закон выполняется, так как он справедлив для всех элементов группы.

Основные свойства группы:

1. Группа содержит единственный единичный элемент, и для каждого элемента группы имеется единственный обратный элемент.

2. Группа разлагается на смежные классы по подгруппе. Смысл этого разложения заключается в следующем.

Обозначим элемент группы  через  а элемент подгруппы Н – через  Рассмотрим таблицу, образованную следующим образом.

Запишем все элементы подгруппы Н, начиная с единичного элемента, в первую строку, причем каждый элемент подгруппы появится в этой строке только один раз. Далее выбираем любой элемент , не принадлежащий Н, и записываем его на первое место во второй строке, а все остальные элементы второй строки находятся применением заданной в группе операции над первым элементом второй строки и соответствующими элементами подгруппы H, записанными в первой строке. Аналогично образуются третья, четвертая и т.д. строки, до тех пор, пока все элементы  не войдут в таблицу. В качестве первого элемента каждой строки всякий раз выбирается произвольный элемент , не вошедший в предшествующие строки. Этот элемент называют образующим смежного класса.