Итак, множество комбинаций 000, 001, 010 и 011 является группой по операции поразрядного сложения по модулю 2.
Группа называется абелевой в честь известного норвежского математика Н.Х. Абеля (1802-1829), если множество G по введенной операции обладает еще и следующими свойствами: , т.е. выполняется переместительный (коммутативный) закон. Группы, рассмотренные в предыдущих примерах, являются абелевыми.
Важным понятием в теории групп является понятие подгруппы.
Если множество элементов составляет группу и некоторая часть этого множества (Н) также обладает всеми групповыми свойствами, то эту часть элементов группы называют подгруппой. Слово “подгруппа” означает “группа внутри группы”. Для того, чтобы установить, является ли Н подгруппой необходимо проверить замкнутость и наличие обратных элементов. Если множество Н замкнуто относительно заданной в группе операций и содержит обратные элементы, то это множество содержит и единичный элемент группы, а сочетательный закон выполняется, так как он справедлив для всех элементов группы.
Основные свойства группы:
1. Группа содержит единственный единичный элемент, и для каждого элемента группы имеется единственный обратный элемент.
2. Группа разлагается на смежные классы по подгруппе. Смысл этого разложения заключается в следующем.
Обозначим элемент группы через а элемент подгруппы Н – через Рассмотрим таблицу, образованную следующим образом.
Запишем все элементы подгруппы Н, начиная с единичного элемента, в первую строку, причем каждый элемент подгруппы появится в этой строке только один раз. Далее выбираем любой элемент , не принадлежащий Н, и записываем его на первое место во второй строке, а все остальные элементы второй строки находятся применением заданной в группе операции над первым элементом второй строки и соответствующими элементами подгруппы H, записанными в первой строке. Аналогично образуются третья, четвертая и т.д. строки, до тех пор, пока все элементы не войдут в таблицу. В качестве первого элемента каждой строки всякий раз выбирается произвольный элемент , не вошедший в предшествующие строки. Этот элемент называют образующим смежного класса.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.