Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 126

Формирование первой строки, первого столбца и диагональных элементов таблицы сложения, а также двух первых строк и двух первых столбцов таблицы умножения не вызывает затруднения.

               Поясним формирование других элементов:

1+a=a², 1+a²=a, a+a²=1;

a∙a²=a³= a(1+a)=a+a²=1

на основе соотношения для примитивного элемента a²+a+1=0.

6.2. Определение циклического кода

Среди многообразия групповых кодов особое место занимают циклические (n,k) - коды. Циклические коды отличаются простотой реализации, возможностью построения кода любой длины с известными корректирующими свойствами, рациональным соотношением между избыточностью и корректирующей способностью (в этом отношении они близки к границе Хэмминга).

Определение 1. Циклическим кодом называют, групповой (n, k) – код, обладающий следующим свойством: для любой кодовой комбинации  этого кода комбинация, полученная циклическим сдвигом элементов  на единицу вправо, также принадлежит этому коду.

Описание циклических кодов основывается на представлении кодовых комбинаций в виде многочленов от одной неизвестной с коэффициентами в виде двоичных элементов 0 и 1, т.е. элементов поля GF(2). Используя такое представление, можно дать следующее, эквивалентное приведенному выше, определение циклического кода.

Определение 2. Циклическим (n, k) – кодом называется код, множество кодовых комбинаций которого представляется совокупностью многочленов степени n-1 и менее, делящихся на некоторый многочлен g(x) степени (n-k) , являющийся сомножителем двучлена .