Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 79

Пусть V и U векторы: . Скалярным произведением векторов называется скаляр (двоичный элемент), образованный по следующему правилу:

Знак “+”здесь имеет смысл сложения по модулю 2.

Если скалярное произведение векторов равно 0, то такие векторы называются ортогональными.

4) Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов  называют вектор , образованный по следующему правилу:

, где  - скаляры (двоичные элементы).

5) Линейная зависимость векторов

Если  есть векторы,  есть скаляры, причем хотя бы один из них не равен0, то указанный набор векторов называется линейно-зависимым, если

В этом случае, когда эта сумма обращается в 0 (чисто нулевой вектор 00…0) только лишь при равенстве всех скаляров нулю, этот набор векторов называют линейно-независимым.

6) Базис векторного пространства

         Векторное пространство размерности n (n – мерное векторное пространство) со значением скаляров 0 или 1 содержит в своем составе 2ⁿ различных векторов.

         Это пространство может быть охарактеризовано базисом, состоящим из n линейно независимых векторов. Все остальные векторы можно получить путем линейных комбинаций базисных векторов.

         Подпространство n – мерного векторного пространства размерности k, где k<n, содержит 2^k различных векторов, выбранных на 2ⁿ  векторов, составляющих n – мерное пространство, таким образом, что удовлетворяются все требования векторного пространства. Любой набор из k линейно-независимых векторов данного пространства может служить его базисом.

Пример 5.4. Набор векторов 000,  001,  010,  011,  100,  101,  110,  111 образует 3-мерное векторное пространство (2³ векторов). Его базисом могут служить следующие тройки векторов: