Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 104

         Зная вид матрицы H_(n,k), можно определить корректирующие свойства (n, k) – кода Хэмминга. Так как все столбцы матрицы проверок различны, то никакие два столбца H_(n,k) не являются линейно зависимыми. Наряду с этим, для любого числа m всегда можно указать три столбца матрицы H_(n,k), которые линейно зависимы, например, столбцы, соответствующие числам 1, 2, 3. Следовательно, для любого (n, k) – кода Хэмминга d_min=3.

         Код Хэмминга является одним из немногочисленных примеров совершенного кода.

         Действительно, поскольку (n, k) – код Хэмминга исправляет все одиночные ошибки, то все образцы одиночных ошибок (а их всего насчитывается  вариантов) должны разместиться в различных смежных классах, число которых также равно . Следовательно, помимо смежных классов, содержащих образцы одиночных ошибок, никаких других в таблице декодирования не имеется, что и подтверждает совершенность кода Хэмминга.

         При фиксированном числе  можно построить код Хэмминга любой длины () путем укорочения (n, k) – кода. Укорочение не уменьшает минимальное кодовое расстояние. В силу того, что для любого числа n существует код Хэмминга, любой групповой код с исправлением одиночных ошибок принято называть кодом Хэмминга.

Пример 5.13. Определим параметры кодов Хэмминга естественной длины для различных значенийm. Результаты представим в виде таблицы.