Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 105

         и т.д.

         Очевидно, что минимальная длина кода Хэмминга, имеющего практическое значение, есть 3. При увеличении n отношение  возрастает и стремится к 1.

Пример 5.14. Рассмотрим код Хэмминга (7,4). Матрица проверок этого кода состоит из 7 трехразрядных двоичных чисел от 1 до 7:

.

         Из рассмотрения этой матрицы видно, что минимальное число линейно зависимых столбцов равно 3( к примеру 1, 2 и 3), следовательно, d_min=3.

         В том случае, когда столбцы матрицы H_(n,k) – кода Хэмминга есть упорядоченная запись m – разрядных двоичных чисел, декодирование осуществляется оригинальным образом. В результате вычисления проверочного соотношения для кодовой комбинации , имеющей одиночную ошибку, получается синдром  в точности равный номеру элемента, в котором произошла ошибка.

         Действительно, если e_i содержит одну единицу в разряде, соответствующем ошибочному элементу, то при умножении на матрицу Н^Т все строки матрицы Н^Т, соответствующие нулям в e_i, обращаются в нули, и лишь строка, соответствующая “1” в e_i сохраняет свой вид (т.е. порядковый номер элемента в двоичной записи) в ответе.

Пример 5.15. Пусть приемник УЗО системы передачи данных зарегистрировал комбинацию . Вычисление синдрома дает

,

т.е. ошибка в четвертом элементе и кодовая комбинация кода (7,4), которая была передана, имеет вид:

         Путем несложных преобразований из (n, k) – кода Хэмминга с d_min=3 можно получить (n+1, k) – код Хэмминга с d_min=4.

         Для этого в кодовую комбинацию вводится избыточный элемент, являющийся результатом проверки на четность по всем элементам кодовой комбинации. Число информационных элементов остается прежним.