Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 78

В примере 5.1. было показано, что эти комбинации образуют группу по операции поразрядного сложения по модулю 2. Так как для любых комбинаций порядок сложения несущественен, например,001+010=010+001=011, то эта группа является абелевой.

Будем полагать каждую комбинацию вектором и умножение на скаляр производить следующим образом: , если с = 1, и , если с = 0, где v - любая из рассматриваемых комбинаций.

При таком введении операции умножения на скаляр выполняются распределительные законы, например:

и

                                               1∙(011+010)=.

Операция умножения на скаляр подчиняется сочетательному закону, например,

 , равно как  .

Таким образом, набор комбинаций 000, 001,  010 и 011 при введении операций указанным выше способом удовлетворяет требованиям векторного пространства.

Рассмотренный пример показывает, что для двоичного случая свойства векторного пространства в основном определены свойствами абелевой группы.

Сформулируем некоторые понятия и определения, относящиеся к векторному пространству.

1) Сложение векторов

Пусть V и  - два вектора n – мерного векторного пространства  где  - скаляры (двоичные элементы). Тогда суммой этих векторов будем называть новый вектор , образованный по следующему правилу:

.

2) Умножение вектора на скаляр

Пусть  вектор, а с – скаляр. Умножение вектора на скаляр дает новые вектор, образованный по следующему правилу:

.

3) Скалярное произведение векторов