Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 73

G3. Наличие единичного элемента e: среди элементов множества G имеется такой элемент e, для которого справедливо , где a - произвольный элемент G.

         В случае операции сложения над числами равенство  возможно лишь в том случае, когда e = 0. Если же над числами производится операция умножения, то равенство  возможно лишь в том случае, когда e = 1.

G4. Наличие обратных элементов: для произвольного элемента а множества G существует в этом множестве такой элемент , для которого справедливо

.

         Если элементами множества G являются числа, то при сложении , а при умножении .

Примеры групп:

1. Множество целых чисел положительных, отрицательных и нуля является группой по операции сложения.

2. Числа 0 и 1 образуют группу по операции “сложение по модулю 2”.

1) Замкнутость. Обусловлена таблицей сложения

2) Сочетательность. Легко проверить, что сложение по модулю 2 подчиняется сочетательному закону, например

,

.

3) Единичный элемент. Здесь 0 является единичным элементом

4) Обратные элементы. Каждое число является обратным к самому себе, т.к.        и .