Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 140

Для кода (31,26) с t = 1 в качестве порождающего многочлена можно взять так как корни каждого из них содержат по две последовательные степени, а значит, по теореме 5.2 эти коды имеют d_min = 3.

Для кода (31,21) порождающий многочлен должен иметь степень 10. Он может быть получен, как произведение двух неприводимых многочленов пятой степени

В соответствии с теоремой необходимо, чтобы порождающий многочлен имел среди своих корней 4 последовательных степени. Этому требованию удовлетворяют, например, многочлены  и . Для кода (31,16) в качестве порождающего многочлена целесообразно выбрать многочлены  и , у которых среди корней имеются элементы  и  соответственно, что обеспечивает требуемые корректирующие свойства кода.

в) Улучшение корректирующих свойств циклических (n, k) – кодов умножением порождающего многочлена на .

Для кодов с нечетным значением минимального кодового расстояния последнее может быть увеличено на единицу умножением порождающего многочлена g(x) на . Выше было показано, что использование двучлена  в качестве порождающего многочлена дает код с проверкой на четность. Умножение порождающего многочлена некоторого циклического кода на  приводит к введению дополнительной проверки на четность в этом коде по всем кодовым элементам. Если код имеет четное значение d_min, то  дополнительная проверка на четность не изменит его величины, т.к. введение в проверочную матрицу строки из одних единиц не изменит минимального числа линейно не зависимых столбцов.

Если же d_min нечетное, то введение в проверочную матрицу строки из одних единиц приводит к увеличению минимального числа линейно зависимых столбцов на один.