Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 149

Таким образом, для вычисления синдрома  необходимо иметь схему деления принятой комбинации на порождающий многочлен кода g(x).

Итак, мы установили существование двух способов вычисления синдрома для кодовых комбинаций. При этом второй способ отражает специфику представления кодовой комбинации в виде многочлена. Возможен ещё и третий способ вычисления синдрома, также вытекающий из представления кодовых комбинаций многочленами. Каждая кодовая комбинация циклического (n,k) кода кратна порождающему многочлену g(x) степени n-k. Это в свою очередь означает, что любая кодовая комбинация имеет среди своих корней n-k корней порождающего многочлена. Значит принадлежность принятой комбинации f(x) к используемому коду можно определить подстановкой вместо формальной переменной x в принятой комбинации корней порождающего многочлена g(x).

Пусть – αⁱ – корень порождающего многочлена (n,k)–кода, а f(x) – кодовая комбинация этого кода, тогда должно быть справедливо: f(x=αⁱ)=0 для всех значений i, определяющих корни g(x).

Выше отмечалось, что синдром должен определять вид ошибок, появившихся в кодовой комбинации при передаче её по каналу с помехами.

Пусть передана комбинация f(x), а принята комбинация f'(x)=f(x)+e(x), где e(x) – многочлен ошибок. Тогда f'(x=αⁱ)=f(x=αⁱ)+e(x=αⁱ)=e(x=αⁱ)=S_i

2.Если e(x) по виду совпадает с одной из кодовых комбинаций, то S_i=e(x=αⁱ)=0,

т.е. имеет место нулевой синдром, который приведёт к необнаруженной ошибке. Если же e(x) отличается от кодовой комбинации, то синдром будет ненулевым: S_i=e(x=αⁱ)≠0 и ошибка будет выявлена.

Пример 6.13. (продолжение)

Покажем, что нахождение синдрома для проверки принадлежности комбинации f(x)=1+x+x²+x³+x⁶=1111001 циклическому(7,4) – коду с g(x) = 1+x+x³ может быть осуществлено подстановкой корней многочлена g(x) вместо x в f(x).