Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 115

В левой колонке этой таблице приведены многочлены минимальной степени в своем классе вычетов. Именно они обозначают класс вычетов и поэтому взяты в фигурные скобки. Рядом с ними показано двоичном представление многочленов данного класса вычетов.

Двоичное представление класса вычетов показывает, что классы вычетов представляют собою векторное пространство размерности 3, состоящее из 8 двоичных последовательностей длины 3.

Из приведенного примера можно сделать следующий очень важный вывод: кольцо многочленов по модулю двучлена xn+1 отображает бесконечное множество многочленов на конечное n – мерное векторное пространство. При этом векторы этого пространства можно складывать и умножать по правилам сложения и умножения классов вычетов многочленов по модулю      xn+1.

Кольцо многочленов по модулю двучлена xn+1, как и любое кольцо, имеет свой идеал. Как и в случае целых чисел, идеал I кольца многочленов по модулю xn+1 содержит классы вычетов, кратные некоторому классу вычетов {g(x)}, т.е. некоторый класс вычетов {s(x)}, принадлежит идеалу I тогда и только тогда, когда s(x) делится на g(x). Покажем, что g(x) при этом должен быть делителем xn+1.

Представим процесс деления xn+1 на g(x) в следующем виде:

xn+1=g(x)q(x)+r(x),

где q(x)- частное от деления, а r(x)-остаток от деления. При этом, очевидно, что степень r(x)- меньше степени g(x).Поэтому должно быть справедливо равенство:

{0}={xn+1}={g(x)}{q(x)}+{r(x)},

из которого вытекает, что класс вычетов {r(x)} также  принадлежащий идеалу I. Поскольку степень r(x) меньше степени g(x), то r(x) должно быть нулевым и, следовательно,      xn+1 кратен g(x).

Пример 6.2. Определим, какие идеалы существуют в кольце многочленов Примера 6.1. Рассматриваемое кольцо образуют классы вычетов многочленов по модулю x3+1. X3+1 имеет в качестве сомножителей два многочлена с двоичными коэффициентами: