Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 127

               Доказательство эквивалентности этих двух определений основывающееся на представлении циклического кода как идеала кольца классов вычетов многочленов по модулю двучлена .(см. свойства 3 и 4 кольца). Групповая структура циклических кодов определяется тем, что, во-первых, операция сложения многочленов совпадает с операцией сложения векторов, во-вторых, совокупность многочленов, делящихся на некоторый многочлен g(x), должна быть замкнута в отношении операции сложения, т.к., если каждое из слагаемых делится на g(x), то их сумма делится на g(x) и степень суммы не старше степеней слагаемых, в-третьих, нулевая комбинация принадлежит циклическому коду, т.к. 0 делится без остатка на g(x).

            Структура циклического кода не будет раскрыта полностью, если не учитывать, что свойство цикличности эквивалентно заданию действия умножения над кодовыми комбинациями как над многочленами и замкнутости кодовых комбинаций по этому действию. Для обеспечения замкнутости кодовых комбинаций в пределах множества многочленов степени n-1 и менее умножение кодовых комбинаций необходимо производить по модулю двучлена . Из определения 2 следует, что к циклическому коду относятся лишь многочлены степени n-1 и менее, кратные многочлену g(x). Структура циклического кода формируется в результате следующих построений. Бесконечное множество многочленов произвольных степеней путем вычисления остатков от деления на  (приведения по модулю ) раскладывается на конечное число множеств, обладающих одинаковым остатком, называемых классами вычетов.

При этом каждый многочлен степени от нулевой до (n-1)-ой включительно принадлежит своему определенному классу вычетов и полностью его представляет. Классы вычетов при таком разложении играют ту же роль, что и смежные классы в разложении группы по подгруппе.  В данном случае роль подгруппы играет класс вычетов, содержащий все многочлены, кратные , т.е.  и т.д. Общее число классов вычетов равно числу всевозможных многочленов степени n-1 и менее, т.е. 2ⁿ.