Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 91


что полностью совпадает с матрицей, полученной в примере 5.7.

5.2.5. Задачи

1. Определить минимальное кодовое расстояние в коде, состоящем из следующих кодовых комбинаций: 000,  001,  110,  111.

2. Построить (3, 2) – код с dmin=2.

3. Можно ли построить групповой код длины n=3 с dmin=3?   Если да, то какой это код?

4. Задана проверочная матрица (7, 4) – кода:

Построить порождающую матрицу для этого кода.

5. Проверить, принадлежит ли комбинация (1  0  1  0  1  0  1) коду (7, 4) предыдущей задачи.

6. Для кода, двойственного коду (5,3), написать порождающую и проверочную матрицы в канонической форме.


5.3. ДРУГИЕ  СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ КОДОВ

5.3.1. Корректирующие свойства групповых кодов

Эффективность помехоустойчивого кода определяется минимальным кодовым расстоянием. Выше было показано, что dmin (n,k)-кода равно минимальному весу ненулевых кодовых комбинаций. Желательно уметь вычислять dmin кода, не находя весов всех кодовых комбинаций. Для групповых кодов существует способ определения dmin по виду матрицы проверок . Этот способ основывается на соотношении .

         Пусть V - кодовая комбинация с минимальным весом.

Умножение кодовой комбинации V на матрицу  можно представить как поразрядное сложение столбцов матрицы , которым соответствуют единицы комбинации v.

Результат умножения должен дать нулевой синдром. Так как никакая другая комбинация с меньшим числом единиц не дает нулевого синдрома, то, следовательно, кодовой комбинации минимального веса соответствует минимальное число линейно зависимых столбцов матрицы проверок. Таким образом, можно сформулировать правило определения dmin группового кода.

         Теорема 5.1.

         Групповой код имеет минимальный вес (минимальное кодовое расстояние), равное минимальному числу линейно зависимых столбцов матрицы проверок .