Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 91

что полностью совпадает с матрицей, полученной в примере 5.7.

5.2.5. Задачи

1. Определить минимальное кодовое расстояние в коде, состоящем из следующих кодовых комбинаций: 000,  001,  110,  111.

2. Построить (3, 2) – код с d_min=2.

3. Можно ли построить групповой код длины n=3 с dmin=3?   Если да, то какой это код?

4. Задана проверочная матрица (7, 4) – кода:

Построить порождающую матрицу для этого кода.

5. Проверить, принадлежит ли комбинация (1  0  1  0  1  0  1) коду (7, 4) предыдущей задачи.

6. Для кода, двойственного коду (5,3), написать порождающую и проверочную матрицы в канонической форме.

5.3. ДРУГИЕ  СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ КОДОВ

5.3.1. Корректирующие свойства групповых кодов

Эффективность помехоустойчивого кода определяется минимальным кодовым расстоянием. Выше было показано, что d_min (n,k)-кода равно минимальному весу ненулевых кодовых комбинаций. Желательно уметь вычислять d_min кода, не находя весов всех кодовых комбинаций. Для групповых кодов существует способ определения d_min по виду матрицы проверок . Этот способ основывается на соотношении .

         Пусть V - кодовая комбинация с минимальным весом.

Умножение кодовой комбинации V на матрицу  можно представить как поразрядное сложение столбцов матрицы , которым соответствуют единицы комбинации v.

Результат умножения должен дать нулевой синдром. Так как никакая другая комбинация с меньшим числом единиц не дает нулевого синдрома, то, следовательно, кодовой комбинации минимального веса соответствует минимальное число линейно зависимых столбцов матрицы проверок. Таким образом, можно сформулировать правило определения d_min группового кода.

         Теорема 5.1.

         Групповой код имеет минимальный вес (минимальное кодовое расстояние), равное минимальному числу линейно зависимых столбцов матрицы проверок .