Обработка и передача дискретных сообщений, лекции и материалы, страница 133

            В силу того, что условие равенства нулю произведения многочленов и скалярного произведения соответствующих им векторов не совпадают, для выполнения равенства  при построении матрицы компоненты векторов, соответствующих h(x), xh(x) и x²h(x) записываем в обратном порядке

.

В полученной матрице проверок в качестве столбцов записаны все 7 ненулевых последовательностей длины 3. Следовательно, данный код является кодом Хэмминга.

Вообще говоря, циклические коды Хэмминга строятся на основе порождающих многочленов степени m, являющихся сомножителями двучленов  и не являющихся сомножителями никаких двучленов меньшей степени. Корни этих многочленов имеют порядок 2^m-1, т.е они являются примитивными элементами поля GF(2^m). Это означает, что порождающий многочлен кода Хэмминга порождает поле GF(2^m).

Условимся в любом циклическом коде первые n-k элементов кодовой комбинации, то есть коэффициенты при  использовать в качестве проверочных элементов, а последние k элементов, то есть коэффициенты при , - в качестве информационных (рис. 6.1).

a₀a, ….., a_n-1 = a₀x⁰+a₁x¹+ …. + a_n-1xⁿ⁺¹

x⁰       x¹         x²                                              x^n-k-1    x^n-k                                                 x^n-2      x^n-1