Учебное пособие по курсу "Теория механизмов и машин", страница 71

Знак «минус» присваивают внешнему зацеплению, «плюс» — внутреннему. Колесо с меньшим числом зубьев называют шестерней, ей присваивают индекс 1. Колесо с большим числом зубьев — колесо (индекс 2).

NB 12.3. Передаточное отношение зубчатого механизма равно взятому со своим знаком отношению числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни.

12.2. Многоступенчатая зубчатая передача с неподвижными осями

Передаточное отношение, которое можно воспроизвести одной парой зубчатых колес, невелико. На практике же часто приходится встречаться с необходимостью воспроизведения значительных передаточных отношений. Для их осуществления применяют несколько последовательно соединенных колес, т.е. многоступенчатые передачи. Такие сложные зубчатые механизмы получили название многоступенчатых зубчатых передач или редукторов скоростей.

Для примера рассматривается серия зубчатых колес, состоящая из трех пар, т.е. трехступенчатый цилиндрический редуктор (рис. 12.4). На осях О₁, О₂, О₃, О₄ жестко закреплены колеса, которые попарно находятся в зацеплениях z₁/z₂, z_2'/ z₃ и z_3'/ z₄. Угловые скорости колес — ω₁, ω₂, ω₃, ω₄. Передаточное отношение серии колес:

                                             .                                           

Рис. 12.4

Передаточное отношение для каждой ступени

                          .                        

Перемножив полученные передаточные отношения, получаем

                         ,                        или

                                        .                             (12.2)

NB 12.4. Передаточное отношение серии зубчатых колес равно произведению взятых со своими знаками передаточных отношений отдельных ее ступеней.

Для любого числа ступеней

                                   ,                         (12.3)

где m — число внешних зацеплений.

Крутящие моменты на валах, Н·м, связаны зависимостью

                                 и т.д.,                      (12.4)

где Р_I, Р_II и т.д. — мощности на валах, Вт.

Так как Р_II = Р_I h, а w₂ = w₁/i₁₂, то

                                           T_II = T₁i₁₂h.                                 (12.5)

Аналогично моменты на других валах редуктора (см. рис. 12.4):

T_III = T_IIi₂₃h = T₁i₁₃h²,                          (12.6)

                                   T_IV = T_IIIi₃₄h = T₁i₁₄h³.                          (12.7)

В формулах (12.5) – (12.7): h — КПД одной ступени зубчатой передачи, h = 0,95 … 0,97 [20]; h³ = h₁₄ — общий КПД редуктора.

При определении вращающих моментов не учитывались знаки передаточных отношений, так как направления моментов и угловых скоростей не всегда совпадают. Так, в первой ступени z₁/z₂ редуктора момент Т_II на валу колеса 2 совпадает с направлением угловой скорости w₂, а на валу шестерни 1 момент Т_I направлен против угловой скорости w₁ как реактивный (см. рис. 12.4).

Аналогично во второй ступени  на шестерню  действует реактивный момент , направленный противоположно угловой скорости w₂, а на колесо 3 — момент Т_III, направленный в соответствии с w₃. Таким образом, моменты Т_II и  являются внутренними, не передающимися на корпус редуктора. Они скручивают вал II на участке между колесами 2 и .

На валу III действуют внутренние моменты Т_III и , а на валу IV — момент Т_IV. На вал IV также действует момент  = – Т_IV cо стороны соседнего с редуктором вала. Момент , так же как и момент Т_I, является внешним по отношению к редуктору. Именно эти моменты учитывают при расчете фундаментных болтов редуктора. Таким образом, на валах II и III действуют внутренние моменты, а на валах I и IV — внешние Т_I и , направленные против их вращения.

Пример 12.1. Рассчитать передаточное отношение трехступенчатого цилиндрического редуктора (см. рис. 12.4), общий КПД, приведенные к валу 1 момент сил М_п, момент инерции I_п и угловые скорости валов при следующих исходных данных: числа зубьев колес z₁ = 20; z₂ = 80;  = 25; z₃ = 75;  = 18; z₄ = 72; T₁ = 18 Н×м; I₁ = = 0,1 кг×м²; I₂ = 0,15 кг×м²; I₃ = 0,2 кг×м²; I₄ = 0,25 кг×м²; КПД одной ступени h = 0,97, угловая скорость w₁ = –150 с^-1.