Принятие управленческих решений в маркетинге с помощью компьютерных средств, страница 49

Пусть имеются две группы покупателей (А – покупающие товар типа 1, В – покупающие товар типа 2). Они характеризуются двумя признаками (X1 – возраст, Х2 – доход). В пространстве признаков группы располагаются, как показано на рис. 15Рис. 15. Задача состоит в том, чтобы найти правило разделения покупателей по группам в зависимости от значений характеризующих их признаков.

Рис. 15. Расположение групп покупателей различных товаров
в пространстве признаков

Разделение по признаку Х1 с наименьшей ошибкой может осуществляться по линии S (если Х1 больше порогового значения, то есть точка, соответствующая покупателю, находится правее S, то это В, иначе А), но из рисунка видно, что имеется некоторая ошибка такой классификации. Та же ситуация наблюдается и для классификации по признаку Х2 (линия Q).

Но если построить новую ось Y (проекция каждой точки на ось Y будет равна n1X1+n2X2), то можно по значениям Y делить покупателей на группы А и В без ошибок. Разделительная линия обозначена как W.

Таким образом, дискриминантный анализ дает линейную комбинацию исходных признаков и пороговое значение, которое позволяет наилучшим образом разделять объекты на группы по значениям их признаков. Все расчеты производятся с помощью компьютера по известному набору случаев, а далее результат может быть использован для классификации новых объектов (покупателей, ситуаций, требующих решения и т.д.).

Если области пересекаются, как на рис. 16Рис. 16, то можно построить линию W, дающую наименьшую, но ненулевую ошибку классификации.

Рис. 16. Случай пересекающихся областей

Проблема применения метода состоит в том, что линия W строится по имеющимся образцам, а используется для классификации новых объектов. Ошибка классификации минимизируется для обучающих образцов и может быть довольно значительной для новых. Эта ситуация показана на рис. 17Рис. 17.

Для оценки важности той или иной переменной для классификации существует несколько способов.

○  Сильное влияние некоторой переменной можно выявить по заметному различию в средних значениях этой переменной среди различных групп.

○  Можно рассмотреть корреляцию значений между значениями каждого параметра Xk и Y. Большие ее значения отражают сильное влияние данной переменной.

○  Коэффициенты линейной комбинации также отражают вклад переменной в разбиение на группы. Чем больше некоторый коэффициент (вес переменной), тем более важна соответствующая ему переменная. Для сравнения относительной важности переменных следует использовать стандартизированный вес nk*, определяемый по формуле:

nk*=sknk,

где sk – среднеквадратическое отклонение k-й переменной, оцененное по выборке. Если стандартизированный вес мал, то либо переменная действительно оказывает малое влияние, либо имеется мультиколлинеарность (корреляция между признаками).

Рис. 17. Построение классификатора по имеющимся образцам

Если Xk мультиколлинеарны, то выводы по трем критериям будут различными, и следует выбрать другие признаки классификации, если независимы, то все подходы дадут сходный результат, который и можно принять за окончательный.

Если число групп больше двух, то анализ несколько усложняется. Классический подход заключается в построении дискриминантных функций, дающих максимальные различия между каждой парой групп. Канонический подход связан с построением одного дискриминанта на все группы. Таких дискриминантных функций может быть построено несколько. Критерий определения Y для этого случая равен:

J = дисперсия Y между классами/дисперсия Y внутри классов à max.