Проектирование дорог для движения транспортных потоков как путь повышения эффек­тивности работы автомобильных дорог. Взаимодействие автомобилей в транспортном потоке. Макроскопические теории транспортного потока, страница 50

Если рассматривать поток автомобилей как стационарную си­стему, то изменение числа автомобилей по длине дороги dS за время dt должно быть равно разности между числом автомобилей, входящих на участок S, и числом автомобилей, выходящих с уча­стка S + dS. При числе автомобилей на   участке dS в мо­мент d, равном qdS (где q—плотность, авт/км), и числе автомоби­лей, входящих на участок S за время dt, равном ndt, сохранение числа автомобилей выражается следующей зависимостью

                                                                                                                      (IV.26)

Учитывая, что N = qv, основное уравнение неразрывности имеет вид

                                                                          (1У.27)

Смысл этого уравнения следующий: количество автомобилей, входящих в момент dt на участок dS, равно количеству автомоби­лей, выходящих с этого участка.

Уравнение движения. Это уравнение по аналогии с уравнением одномерного движения потока сжимаемой жидкости для случая движения потока автомобилей имеет вид [10]

                                                                                                                          (IV.28)

где С — постоянная.

Более общий вид этого уравнения может быть получен при подстановке в уравнение (1У.28) q^-1. Отсюда

                                                                           .                                                        (1У:29)

Закон сохранения количества движения. При движении потока автомобилей по аналогии с движением жидкости количество дви­жения характеризуется величиной qv. Уравнение сохранения коли­чества движения может быть получено умножением на  v  уравне­ния неразрывности (1У.27) и умножением на q уравнения движения (IV. 29). Затем складывая полученные уравнения, получаем уравнение сохранения количества движения

                                                                   .                             (IV.30)

Первое слагаемое этого уравнения показывает изменение коли­чества движения, вызванное изменением плотности потока, вто­рое — изменением интенсивности.

Энергетическое состояние потока автомобилей. Общее энерге­тическое состояние потока автомобилей, как и потока жидкости или газа, характеризуется суммой кинетической Ек и внутренней U энергии

Е=Е_к  + U.                      (1У.31)

Уравнение (1У.31) является законом сохранения энергии пото­ка автомобилей.

По аналогии с кинетической энергией потока жидкости кине­тическая энергия потока автомобилей определяется как

                                                                                            E_к =γ q v² ,                          (1У.32)

где γ — постоянная.

Внутренняя энергия характеризует степень устойчивости дви­жения потока автомобилей, от которой зависит величина этой энергии. Потеря внутренней энергии может быть вызвана неблаго­приятными дорожными условиями или увеличением плотности по­тока. Величиной внутренней энергии считают [112] среднеквадратическую величину ускорения движения автомобилей σ_a на участ­ке дороги S.

С учетом представленных определений уравнение (1У.31) при­мет вид

                                                                                        E_к =γ q v² + σ_a.                                                   (1У.ЗЗ)

 Граничными условиями этого закона являются:

                                                         При  v→0           E = γ q_max v;                                                      (IV.34)

                                                          При E_к → 0        E = .                                                              (IV.35)

Исходя из этих граничных условий, величина

Таким образом уравнение (1У.31) будет иметь окончательный вид:

             .                                                                 (1У.36)

Для оценки состояния потока можно также применять в каче­стве одного из критериев среднюю квадратическую величину изменения энергии движения кон­трольного автомобиля.