1.3. Кольцо, идеал и классы вычетов.
В теории колец роль аналогичную подгруппе в группе играет понятие идеала.
Идеалом I называется подмножество элементов кольца R, обладающее следующими двумя свойствами:
1. I является подгруппой аддитивной группы кольца R.
2. Для любого элемента a из I и любого элемента r из R произведениеa·r и r·aпринадлежит I.
Поскольку идеал является подгруппой, то могут быть образованы смежные классы. В случае кольца смежные классы называют классами вычетов. Их построение аналогично рассмотренному выше. Идеал образует первую строку с нулевым элементом в начале строки. Любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса вычетов строят сложением образующего с каждым элементом идеала и т. д.. Первыми элементами в каждой строке являются элементы, не использованные в предыдущих классах.
Все свойства смежных классов верны и для классов вычетов, т.е. их можно складывать и умножать в рассмотренном выше смысле. Легко проверить, что по операции сложения классы вычетов образуют коммутативную группу, в которой идеал играет роль нулевого элемента, а по операции умножения классов вычетов выполняется замкнутость, ассоциативный и дистрибутивный законы, т.е. классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо. Это кольцо называют кольцом классов вычетов.
Понятие кольца и кольца классов вычетов одинаково справедливо как целых чисел, так и для многочленов от одного переменного с коэффициентами из некоторого поля. Эти понятия позволяют определить структуру конечных полей простых и расширенных соответственно. Идеал кольца классов вычетов многочленов используется для определения и характеристики свойств циклических кодов. Из определения идеала вытекает, что идеал может быть образован всеми кратными некоторого его элемента.
Для целых чисел структура идеала и классов вычетов формируется следующим образом:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.