Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 42

HOД [p₁(х), p₂(х)]= A(x) p₁(х)+ B(x) p₂(х).

3.2.2Сколько различных приведённых многочленов второй степени вида х²+ax+b, где a и b – элементы GF(2) имеется над полем GF(2)?

3.2.3.Сколько различных многочленов вида (x-α) (x-β), где α и β не равны 0, имеется над полем GF(2⁴), сколько из них неприводимых над этим полем? Сколько из них неприводимо над полем GF(2)?

3.2.4.Используя алгоритм Евклида найти HOД (1573,308), найти целые числа A и B, удовлетворяющие равенству HOД (1573,308)= 1573A+308B.

3.2.5.Доказать, что в кольце целых чисел по модулю 15 многочлен p(х)=х²-1 имеет более двух корней, а в поле GF(2³) – два. Чему равно значение этих корней?

3.2.6.Сколько различных приведённых многочленов над GF(2) делят многочлен х⁶-1?

3.2.7.Построить поле GF(5), выписав для него таблицы сложения и умножения. Определить порядок ненулевых элементов поля.

3.2.8.Определить возможные порядки ненулевых элементов GF(7). Сколько элементов каждого порядка имеется? Указать порядок каждого ненулевого элемента из этого поля.

3.2.9.Вычислить 3¹⁰⁰ (mod 5).

3.2.10.Доказать, что многочлен х²+x+1 неприводим над GF(2). В каком поле корни этого многочлена являются примитивными элементами? Построить это поле.

3.2.11.Доказать, что многочлен х³+x+1 неприводим над GF(2). В каком поле корни этого многочлена являются примитивными элементами? Построить это поле.

3.2.12.Сколько примитивных элементов имеет поле GF(2³)? Корнями каких многочленов они являются?

3.2.13.Построить поле GF(2⁴):

a)  по модулю многочлена π(x)=1+ х+x⁴;

б)  по модулю многочлена π(x)=1+ х³+x⁴;

в)  каков порядок корней этих многочленов?

г)  каков порядок остальных ненулевых элементов GF(2⁴)?

д)  каким многочленом (указать степень) принадлежат в качестве корней ненулевые элементы GF(2⁴) из п.б)?

3.2.14.Показать, что поле GF(2²) является подполем GF(2⁴).

3.2.15.Какие подполя содержит GF(2⁸)?

3.2.16.Сколько идеалов существует в кольце многочленов по модулю многочлена f(х) над полем GF(2), если идеалы образуют все многочлены, кратные каждому неприводимому сомножителю многочлена f(х)? Какова размерность идеалов?