, страница 29

Элемент Минимальный многочлен

0 х,

1 х+1,

α х⁴+х+1,

α^-1 = α¹⁴ х⁴+х³+1,

α³х⁴+х³+х²+х+1,

α⁵х²+х+1.

Процесс нахождения минимальных многочленов будет обобщен в §2.4.

2.3 Свойства минимальных многочленов над полем GF(p).

Минимальный многочлен неприводим.

Действительно, если m(x) = m1(x)m2(x), то m(β) = m1(β)m2(β) = 0, так что либо m1(β) = 0, либо m2(β) = 0, что противоречит определению.

Если некоторый многочлен f(x) с коэффициентами из GF(p) такой что f(β) = 0, то минимальный многочлен m(x) для β делит f(x).

Из этого вытекает:

Минимальный многочлен m(x) степени m является делителем X-X.

Из этого следует, что

Степени минимальных многочленов m(x) для элементов поля GF(p^m) не превышают m.

С учетом сказанного:

Если корень β является примитивным элементом GF(p^m), то m(x) для β имеет степень, равную m.

Как найти m(x) минимальный многочлен для β = αⁱ из GF(p^m) ?