Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 29

         Элемент                                 Минимальный многочлен

0  х,

1  х+1,

α                                                  х4+х+1,

α-1 = α14                                        х43+1,

α3                                                                                  х432+х+1,

α5                                                                                  х2+х+1.

Процесс нахождения минимальных многочленов будет обобщен в §2.4.

2.3  Свойства минимальных многочленов над полем GF(p).

1.

                       Минимальный   многочлен   неприводим.

Действительно, если m(x) = m1(x)m2(x), то m(β) = m1(β)m2(β) = 0, так что либо m1(β) = 0, либо m2(β) = 0, что противоречит определению.

2.

Если некоторый многочлен f(x) с коэффициентами из GF(p) такой что f(β) = 0, то минимальный многочлен m(x) для β делит f(x).

Из этого вытекает:

3.

Минимальный многочлен m(x) степени m  является    делителем     X-X.

           Из этого следует, что

4.

 Степени минимальных многочленов   m(x) для элементов поля GF(pm) не превышают m.

С учетом сказанного:

5.

Если корень β является примитивным элементом GF(pm), то m(x) для β имеет степень, равную m.

6.

Как найти m(x) минимальный многочлен для β = αi из GF(pm) ?