Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 20

Важно уметь сопоставлять совокупности элементов GF(q), в частном случае GF(2^m), с корнями неприводимых сомножителей Х^q-1-1 (в двоичном случае с корнями  Х^-1-1, ровно как и с корнями  Хⁿ-1 при произвольном n).

При выявлении сомножителей Хⁿ-1 полезны следующие свойства, характеризующие связи между элементами GF(q) и многочленами, являющимися делителями  Хⁿ-1.

Свойство 1. Наличие в двучлене Хⁿ-1 сомножителей вида Х^m-1, где m<n.

Пусть n=m×d, где n, m и d-целые положительные числа. Рассмотрим двучлен У^d-1.Очевидно, при У=1 обращается в нуль и 1 является корнем У^d-1.Тогда по теореме Безу У^d-1 делится на У-1.Положим, что У=Х^m.Тогда, очевидно, Х^md-1 делится на Х^m-1.Таким образом, справедливо следующее:

Свойство 2. Поля Галуа GF(p^m), образованные классами вычетов многочленов по модулю примитивного неприводимого над полем GF(p) многочлена π(x) степени m, называют полями характеристики р при любом выборе m.В поле GF(p) элемент p=0.

         В поле характеристики p для любых чисел a и b справедлива биноминальная теорема:

                            (a+b)^p    = a^p  + Ca^p-1b + Ca^p-2b² +…+ b^p,

где Cⁱp-биноминальные коэффициенты, вычисляемые по формуле: