Алгебраические системы– это абстрактные системы, которые подчиняются определённым правилам и законам, формулируемым в виде аксиом.
Применительно к двоичному каналу группа – это система, в которой задана одна из двух возможных операций – сложение (аддитивная группа) или умножение (мультипликативная группа) по модулю 2 и выполняются аксиомы А.1.-А.4.. В кольце и поле определены две операции – сложение и умножение. При этом элементы кольца по операции сложения должны удовлетворять всем групповым аксиомам, а по операции умножения – А.1. и А.2.; в поле же все элементы образуют группу по сложению, а все ненулевые элементы – группу по умножению. Так как в кольце и поле элементы можно складывать и умножать, то в этих системах должна удовлетворяться аксиома А6..
Аксиомы, определяющие алгебраические системы
|
А.1. Замкнутость: Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получаются также элементы группы. А.2. Ассоциативный закон: Для любых трёх элементов a,b и c группы (a+b)+c=a+(b+c), если заданная операция – сложение, или a·(b·c)=(a·b)·c, если заданная операция – умножение. А.3 Наличие единичного элемента: Если задана операция сложения, то единичный элемент есть 0 и определяется из уравнения 0+a=a+0=a, где a – любой элемент группы. При заданной операции умножения, единичный элемент есть 1 и определяется 1·a=a·1=a. А.4. Существование обратных элементов: Для каждого элемента группы a существует обратный элемент. Обратный элемент для операции сложения (-a) определяется из уравнения a+(-a)= (-a)+a=0. При операции умножения обратный элемент (a-1) определяется уравнением a·a-1= a-1·a=1. Если для элементов группы по заданной операции удовлетворяется. А.5. Коммутативный закон: a+b= b+a или a·b=b·a для операций сложения и умножения соответственно, то группа называется абелевой или коммутативной. А.6. Дистрибутивный закон: Правило раскрытия скобок: a·(b+c)=a·b+c·a. |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.