Информатика и выч. техника \ Передача дискретных сообщений

Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 24

Множество целых чисел, отображающих степени примитивного элемента α поля GF(pm) в представлении ненулевых элементов поля в виде циклической группы распадается на подмножества, называемые циклотомическими классами по модулю pm-1.Каждый циклотомический класс однозначно соответствует одному из неприводимых сомножителей -.

Понятно, что:

Полное число циклотомических классов для поля GF(pm) совпадает с числом неприводимых сомножителей многочлена  -, и множество  элементов, охватыаемых циклотомическими классами, отображает все ненулевые элементы  поля GF(pm).

Например, циклотомическими классами по модулю 15 для p =2 являются:

С0(15)={0},

C1(15)={1,2,4,8},

C3(15)={3,6,12,9},

C5(15)={5,10},

C7(15)={7,14,13,11}.

Здесь Сs(15) обозначает циклотомический класс по модулю 15, начинающийся с числа s.

Анализ приведённых последовательностей означает, что двучлен x15+1 над полем GF(2) состоит из 5 неприводимых сомножителей: одного сомножителя 1-ой степени с корнем порядка 1, одного сомножителя 2-ой степени с корнем порядка 3 и трёх сомножителей степени 4, два из которых имеют порядок корней 15, а один – имеет порядок корней 5. Результаты этого анализа показывают, что последовательность C0(15) соответствует многочлену x +1; последовательность C5(15) соответствует многочлену 2-ой степени с корнями порядка 3 – это многочлен x 2+x +1 – неприводимый сомножитель двучлена    x 3+1; последовательность C3(15) соответствует неприводимому сомножителю 4-ой степени двучлена x 5+1=(x +1)(x 4+ x 3+ x 2+ x +1), отсюда и порядок корней равный пяти. Многочлены, соответствующие последовательностям C1(15) и  C7(15)   могут быть найдены на основе теоремы Безу:

Скачать файл