Пусть f(x)=g(x)h(x), где h(x)-многочлен степени к, а f(x) имеет степень n.
Многочлены вида x0g(x),x1g(x),..., x к-1g(x) линейно независимы и принадлежат идеалу, а их линейная комбинация
s(x) = (a0 x0+…+ак-1 xк-1) g(x), где аi – элемент основного поля, отлична от нуля, так как имеет степень, меньшую n, и также принадлежит идеалу. Значит,
|
идеал, порождённый многочленом g(x) степени n-k, являющийся делителем f(x) степени n, в кольце многочленов по модулю f(x) имеет размерность, равную k. |
Пример1.3.1. Рассмотрим кольцо многочленов по модулю f(x) = x3+1= =(x+1)(x2+x+1). Это кольцо содержит следующие классы вычетов :{0}, {1},{x} {1+x}, {x2}, {1+x2}, {x+x2}, {1+x+x2} или {000}, {100}, {010}, {110}, {001}, {101}, {011}, {111} .В данном кольце возможно два идеала:
I1, порождённый {x+1}; общий вид элемента идеала:
{(a0 x0+a1 x1)(x+1)}; размерность 2;при подстановке ai=0 или 1 имеем {0}, {1+x}, {1+x2}, {x+x2} или {000}, {110}, {101} и {011}.
I2, порожденный {x2+x+1}. Размерность 1. Включает классы вычетов {0} и {1+x+x2} или {000} и {111} в двоичном представлении.
1.4.Поля Галуа. Мультипликативная группа поля Галуа.
В §1.1было дано аксиоматическое определение поля, введены понятия и приведены примеры простого и расширенного поля.
Обобщением сказанного в §1.1 и §1.3 являются следующие определения:
1.Для простых полей:
|
Кольцо классов вычетов по модулю m является полем тогда и только тогда , когда m – простое число. |
2.Для расширенных полей:
|
Кольцо многочленов по модулю некоторого неприводимого в поле GF(p) многочлена π(x) степени m является полем GF(pm). |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.