Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 21

Поэтому справедливо:

Свойство 3.Пусть многочлен f(x)=a0+a1x+...+amx^m  степени m неприводим в

поле GF(p). Рассмотрим (f(x))^p.

По предыдущему свойству:

(f(x))^p = (а₀)^p+(a1x¹)+...+(amx^m)^p=

= a0^p+a1^p(x^p)^’+...+am^p(x^p)^m=

= a0+a1(x^p)^’+...+am(x^p)^m = f(x^p).

Этот результат получен в силу того, что для любого элемента a_i  из GF(p)  справедливо: ai^p-1 = 1 и ai^p = ai.

Пусть β - корень f(x), тогда f(β) = 0.

В силу полученного результата (f(β))^p = f(β^p) = 0, т.е. для любого корня β многочлена f(x) справедливо утверждение, что β^p также является корнем f(x). Так как неприводимый многочлен f(x) степени m имеет всего m корней и один из его корней есть β, то m степеней β от р⁰=1до p^m-1 являются корнями f(x), т. е. справедливо:

Свойство 4. Прямым следствием из свойства 3 является следующее:

Для доказательства этого свойства предположим, что корнями некоторого неприводимого многочлена f(x) степени m является β, имеющий порядок e и β, имеющий порядок l. Тогда (β)^e= (β^e)=1 и поэтому e делится на l. Аналогично, β^l = (β)^l  =β =((β)^l)=1=1,  так что l делится на e.            .Поскольку e и l - целые положительные числа, βто e = l, что и доказывает свойство 4.