Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 60

4.3.7. Определить, является ли многочлен х5+х+1 неприводимым над полем GF(2).

Решение:

   Для решения этой задачи достаточно проверить имеет ли многочлен х5+х+1 в качестве сомножителей неприводимые многочлены первой и второй степени, т.е. х+1 и х2+х+1.

   Многочлен х+1 имеет корнем «1». Подставим х=1 в х5+х+1, получаем х5+х+1=15+1+1=1, т.е. х+1 не делит х5+х+1.

   Для корней х2+х+1 справедливо х2+х+1=0 или х2=х+1.Подставляем это значение в х5+х+1: х(х+1)(х+1)+х+1=х(х2+1)+х+1=х3+х+х+1=х3+1=(х+1)(х2+х+1)=0, т.е. корни х2+х+1 являются и корнями х5+х+1.

   Значит х5+х+1 имеет одним из своих сомножителей х2+х+1. Выполняя деление х5+х+1 на х2+х+1, находим х5+х+1=(х2+х+1)(х32+1).

Ответ: многочлен х5+х+1 не является неприводимым над полем GF(2).

4.3.8. Проверить делимость многочлена х5+х+1 на многочлен х32+1.                                Решить самостоятельно методом проверки общих корней.                                                                   4.3.9. Найти все неприводимые многочлены  пятой степени над полем GF(2).      Рекомендации по решению:

1.Выписать все двоичные приведенные многочлены пятой степени.

2.Определить методом проверки общих корней делимость рассматриваемых многочленов на многочлены х+1 и х2+х+1 и выявить неприводимые.                                                                     3.Правильность решения проверить по Приложению.                                                                   4.3.10. Найти последовательности корней неприводимых двоичных многочленов пятой степени из задачи 4.3.9.

Рекомендации по решению:

1.Построить циклотомические классы по модулю 25-1=31. Так как 31 – простое число, то все ненулевые элементы поля GF(25), являющиеся искомыми корнями, имеют порядок 31, и их число равно 30, т.е. всего существует 6  неприводимых двоичных многочленов пятой степени, а, следовательно, и 6 циклотомических классов по модулю 31. Все эти многочлены являются примитивными.