Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 17

                          φ(3) = 2,       φ(6) = 2.

Пример1.4.1. Определить число элементов Ni поля GF(2⁶) порядка i = 1, 3, 7, 9, 21, 63.

Решение: Ni = φ(i), где φ(i) – функция Эйлера, для вычисления которой необходимо знать каноническое разложение числа i:

1=1, 3=3, 7=7, 9=3², 21=3×7, 63=3²×7.

Теперь находим:

N1 = φ(1) = 1,

N3 = φ(3) = 2,

N7 = φ(7) = 6,

N9 = φ(9) = 9(1-1/3) = 9×2/3 = 6,

N21 = φ(21) = 21(1-1/3)(1-1/7) = 21×2/3×6/7 = 12,или φ(21)=φ(3)φ(7)=2×6=12,

N63 = φ(63) = 63(1-1/3)(1-1/7)  = 63×2/3×6/7 = 36.

   Рассмотренные числа 1, 3, 7, 9, 21, 63 являются делителями числа 63 и поэтому определяют все возможные порядки элементов мультипликативной группы поля GF(2⁶).                                                                                         Полученный результат может быть обобщен следующим образом:

Важным следствием из рассмотренного является следующее.Пусть а – примитивный элемент GF(p^m) Порядок а равен p^m-1, т.е α=1.Если среди элементов поля GF(p^m) есть элемент β порядка p^r-1, где r < m, т.е. βα,то последовательность элементов β¹, β², …, =, образует циклическую подгруппу мультипликативной группы GF(p^m), т.е. содержит все ненулевые элементы нового поля GF(p^r),являющегося подполем GF(p^m).Итак,

В § 2.1 будет показано , что p^r-1 делит p^m-1,если r делит m. Таким образом , окончательно