Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 22

Свойство 5. Выше было показано однозначное соответствие между ненулевыми элементами GF(p^m) и корнями двучлена Х-1. Определим вид многочлена, корнями которого являются все элементы поля GF(p^m). Пусть α – произвольный элемент поля порядка p^m-1. Тогда справедливо: α=α, т.е. α является корнем уравнения

                                                         х- х = 0.

Данный результат известен в литературе как теорема Ферма:

Любой элемент α поля GF(p^m) удовлетворяет тождеству α=α или, эквивалентно, является корнем уравнения х- х = 0.

Следствием теоремы Ферма является тот факт, что двучлен х- х может быть представлен в виде произведения p^m сомножителей следующим образом:

где a_i= GF(p^m), т. е. все элементы a_i или GF(p^m) являются корнями двучлена  х- х , причём каждый корень встречается только один раз.

Выше мы показывали, что элемент поля GF(p^m) α порядка p^m-1 называется примитивным и любой ненулевой элемент поля являются степенью α, т. е. для ненулевых элементов a_i справедливо a_i= αⁱ, где i принимает значение от 1 до  p^m-1.

Свойство 6.

Свойство 3 устанавливает связь между последовательностями корней неприводимого многочлена f(x). Естественно считать что корень f(x) – элемент расширенного поля GF(p^m). Какой может быть максимальная степень неприводимого многочлена с корнями из GF(p^m) или что тоже самое – какова максимальная степень неприводимого сомножителя х- х ?