Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 6

Приведённые таблицы для GF(2) и GF(2²) подтверждают выполнение всех аксиом поля, в том числе единственность единичных и обратных элементов. Кроме того, можно сделать вывод, что расширенное поле содержит основное поле. Как для основного поля 2=0, так и для расширенного поля π(α)=1+α+α²=0, т.е. α является корнем π(x)=1+x+x².Вторым корнем π(x) является  1+α..Это можно проверить прямой подстановкой. Очевидно, что 1+ α= α². Значит, все ненулевые элементы GF(2²) есть степени корня π(x). Поэтому говорят, что расширение поля образуется присоединением корней π(x) к основному полю.

1.2. Группа, подгруппа и смежные классы.

Подмножество H элементов группы G, удовлетворяющее всем групповым аксиомам называется подгруппой.

Обозначим элементы группы G через g₁, g₂, g₃, ….., а подгруппы через h₁, h₂, h₃….. Рассмотрим следующую таблицу. Первая строка состоит из элементов подгруппы H, взятых по одному разу, с единичным элементом в начале строки. Первым элементом второй строки может быть любой элемент G, не вошедший в первую строку, а все остальные элементы получаются применением групповой операции (например, сложения) первого элемента второй строки с элементами подгруппы. Аналогично образуются последующие строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор пока все элементы G не войдут в таблицу: