Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 13

         Обратим внимание, что по сложению рассматриваемое кольцо удовлетворяет всем групповым аксиомам.

При операции умножения  для элемента {1+x} отсутствует обратный, что допустимо для кольца.

         Сравнение элементов кольца многочленов по модулю f(x)=x²+1 с элементами расширенного поля GF(2²) из §1.1 показывает их полное совпадение. Можно сделать вывод, что отличие в свойствах сравниваемых систем зависит от структуры идеала, т.е. выбора модуля, по которому сформировано кольцо классов вычетов.

Классы вычетов кольца многочленов по модулю многочлена f(x) степени n образуют кольцо многочленов по модулю f(x).Порядок этого кольца при выборе коэффициентов многочлена из поля GF(q) равен qⁿ. При q=2 число классов вычетов многочленов по модулю многочлена степени n равно 2ⁿ.

При выборе в качестве образующего класса вычетов многочлена минимальной степени в своем классе, как это сделано в примере, поясняющем кольцо многочленов по модулю x²+1, образующими классов вычетов будут все возможные многочлены степеней от нулевой (единица) до n-1.

В этом кольце также может быть найден идеал, как множество классов вычетов с образующими, кратными некоторому многочлену g(x), степень которого, естественно, меньше n.

действительно, в соответствии с алгоритмом деления

{f(x)}={0}={g(x)}{q(x)}+{r(x)},

где q(x) – частное от деления f(x) на g(x), а r(x) – остаток от деления. В соответствии с представленной записью {r(x)} принадлежит идеалу{0}, и при этом r(x) имеет степень меньшую, чем степень g(x), что возможно лишь в том случае, когда r(x)=0.

Определим размерность идеала в кольце многочленов по модулю многочлена f(x) степени n, если идеал образован всеми кратными некоторого многочлена g(x), являющегося делителем f(x).