Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 59

х³+х²+х+1=(х+1)(х²+1)=(х+1)³

Для х³+х²+1: 1³+1²+1=1.

Для х³+х+1: 1³+1+1=1.

Т.к. многочлен третей степени может содержать в качестве сомножителей только многочлены первой или второй и первой степеней, то делаем вывод, что многочлены х³+х²+1 и х³+х+1 являются неприводимыми.

Ко всему они являются двойственными, т.к. х³(х^-3+х^-1+1)=1+х²+х³.

4.3.5. Определить, к какому показателю принадлежат многочлены х³+х+1 и х³+х²+1.

Решение:

По своей степени эти многочлены могут входить в разложение двучлена х+1=х⁷+1.

Достаточно проверить принадлежность к показателю 7 одного из них, например, х³+х+1.

Полагаем: х³=х+1,

                  х⁴=х²+х,

                  х⁵=х³+х²=х²+х+1,

                  х⁶=х³+х²+х=х²+1,

                  х⁷=х³+х=х+1+х=1.

Этим доказана принадлежность х³+х+1 и х³+х²+1 к показателю 7. А это в свою очередь означает, что корни этих многочленов примитивные. Действительно, найдём функцию Эйлера от числа 7: φ(7)=6, т.е. среди ненулевых элементов поля GF(2³) шесть элементов являются примитивными – это все ненулевые элементы, исключая α⁰=1, а именно α¹, α², α³, α⁴, α⁵, α⁶. Они распределяются по 2-м циклотомическим классам: С₁₍₇₎={1,2,4},  С₃₍₇₎={3,6,5}

При этом α¹, α² и α⁴ – корни х³+х+1, а α³, α⁵, α⁶ – корни х³+х²+1. Проверить это можно прямой подстановкой.

4.3.6.Проверить применением теоремы Безу справедливость найденных в разделе 2.1  неприводимых сомножителей х¹⁵+1. Использовать результаты решения задач 3.2.13 и 4.2.8.