х3+х2+х+1=(х+1)(х2+1)=(х+1)3
Для х3+х2+1: 13+12+1=1.
Для х3+х+1: 13+1+1=1.
Т.к. многочлен третей степени может содержать в качестве сомножителей только многочлены первой или второй и первой степеней, то делаем вывод, что многочлены х3+х2+1 и х3+х+1 являются неприводимыми.
Ко всему они являются двойственными, т.к. х3(х-3+х-1+1)=1+х2+х3.
4.3.5. Определить, к какому показателю принадлежат многочлены х3+х+1 и х3+х2+1.
Решение:
По своей степени эти многочлены могут входить в разложение двучлена х+1=х7+1.
Достаточно проверить принадлежность к показателю 7 одного из них, например, х3+х+1.
Полагаем: х3=х+1,
х4=х2+х,
х5=х3+х2=х2+х+1,
х6=х3+х2+х=х2+1,
х7=х3+х=х+1+х=1.
Этим доказана принадлежность х3+х+1 и х3+х2+1 к показателю 7. А это в свою очередь означает, что корни этих многочленов примитивные. Действительно, найдём функцию Эйлера от числа 7: φ(7)=6, т.е. среди ненулевых элементов поля GF(23) шесть элементов являются примитивными – это все ненулевые элементы, исключая α0=1, а именно α1, α2, α3, α4, α5, α6. Они распределяются по 2-м циклотомическим классам: С1(7)={1,2,4}, С3(7)={3,6,5}
При этом α1, α2 и α4 – корни х3+х+1, а α3, α5, α6 – корни х3+х2+1. Проверить это можно прямой подстановкой.
4.3.6.Проверить применением теоремы Безу справедливость найденных в разделе 2.1 неприводимых сомножителей х15+1. Использовать результаты решения задач 3.2.13 и 4.2.8.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.