Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 25

f₁(x)=(x+ α) )(x+ α²) )(x+ α⁴) )(x+ α⁸),

f₇(x)= (x+ α⁷)(x+ α¹¹)(x+ α¹³) )(x+ α¹⁴).

Анализ многочленов  f₁(x)  и f₇(x)  будет выполнен ниже.

Свойство 7. Анализ неприводимых многочленов,входящих в разложение Х, имеющих корни среди элементов GF(2⁴) показывает, что степени всех неприводимых многочленов : 1, 2, 4 является делителями числа 4. Обобщим этот результат следующими рассуждениями.

   Пусть f(х)- неприводимый сомножитель степени d ≤ m многочлена Х-Х и пусть β элемент порядка p^d-1  поля GF(p^m), являющийся примитивным элементом подполя GF(p^d) поля GF(p^m), принадлежит циклической группе GF(p^m) порядка p^m-1.Следовательно p^d-1 делит p^m-1, а это возможно только в том случае, когда d делит m. Значит справедливо:

Свойство 8.Аналогичные рассуждения приводят к следующему утверждению:

Свойство 9.

                            Рассмотрим подробнее многочлены над GF(2):

                   f1(x) = (x+α)(x+α²)(x+α⁴)(x+α⁸),