Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 4

Наименьшее число элементов, образующих, поле равно двум, так как в поле должно быть два единичных элемента, а именно 0 относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения. Такое поле является двоичным, то есть GF(2). Правила сложения и умножения определены как действия по модулю 2 и в GF(2) однозначно задаются следующими таблицами:

                                                                                                                                                                                                                                                              таблица сложения:

таблица умножения:

Такое поле является простым. Расширенное двоичное поле GF(2^m) содержит все m – разрядные двоичные последовательности. Например, GF(2²) содержит следующие элементы: 00, 10, 01, 11. Операция сложения последовательностей в этом поле осуществляется  поразрядным сложением символов, стоящих на одноимённых позициях суммируемых последовательностей с использованием указанной выше таблицы.

Например, 00+11=11, 10+11=01 и т.д. Операция умножения выполняется по правилам умножения многочленов. Для этого двоичные последовательности представляются в виде многочленов от формальной переменной α: