Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 61

2.По составу циклотомических классов найти пары двойственных многочленов.

3.Используя результаты решения задач 4.2.9 и 4.3.9, установить соответствие между найденными неприводимыми многочленами и последовательностями их корней.

4. Правильность решения проверить по Приложению.

4.4. Упражнение 4

4.4.1. Определить степени, число и вид неприводимых над GF(2) многочленов, входящих в разложение двучленов х¹²⁷+1 и х²⁵⁵+1.

Решение:

1.Многочлен х¹²⁷+1 = х+1.Так как 7-простое число, то в разложение на неприводимые сомножители х¹²⁷+1 над GF(2) входят только (х+1) и неприводимые многочлены 7-й степени. Их число равно .

Все эти 18 многочленов принадлежат показателю 127. Из Приложения найдем вид девяти неприводимых двоичных многочленов степени 7 в двоично-восьмеричном         представлении: 211,217, 235, 367, 277, 325, 203, 313, 345. Дополнив эти многочлены двойственными им: 221, 361, 271, 753, 375, 253, 301, 323, 247, завершаем решение первой части задачи.

2.Многочлен х²⁵⁵+1=х+1.Так как 8 делится на числа 2 и 4,то в разложение х²⁵⁵+1 на неприводимые сомножители входят, кроме неприводимых многочленов 8-й степени, неприводимые многочлены 4-й и 2-й степеней. Определим число многочленов каждой из этих степеней, входящих в разложение х²⁵⁵+1.Для этого представим 255 в виде простых сомножителей: 255=3·5·17. Это значит, что х²⁵⁵+1 делят  х³+1, х⁵+1, х¹⁵+1, х¹⁷+1, х⁵¹+1 и х⁸⁵+1. Из этого делаем вывод, что в разложение  х²⁵⁵+1 входят неприводимые многочлены, не принадлежащие показателю 255:                                                                                                            х+ 1 ‒ принадлежит показателю 1,

х²+х+1 – принадлежит показателю 3,