К многочлену π (x),кроме требования неприводимости, предъявляется ещё одно принципиальное требование – ненулевые элементы поля являются степенями корня α многочлена π(x) .
Если ненулевые элементы поля GF(m) могут быть представлены как степени некоторого элемента α, то α называют примитивным элементом этого поля.
|
Неприводимый многочлен степени m над полем GF(p) называется примитивным, если его корнем является примитивный элемент GF(pm). |
В §1.1. было показано, что поле GF(22) в качестве ненулевых элементов имеет 1, α, 1+α, где α- корень π(x)=1+x+x2,т.е.1+α+α2=0. Поскольку 1=α0, а 1+α=α2, то все ненулевые элементы GF(22) представляются степенями корня π(x) .Элемент α является примитивным элементов GF(22), а π(х)=1+х+х2 является примитивным неприводимым многочленом .
Рассмотрим поле GF(5).Поскольку 5- простое число , то кольцо классов вычетов по модулю 5 образуют поле GF(5).Таблицы сложения и умножения по модулю 5 приведены в §1.3. Для этого поля также существует примитивный элемент, степени которого дают все ненулевые элементы поля. Например, 20=1, 21=2, 22=4, 23=8=3,24=16=1,25=32=2 и т.д.
Эти примеры могут быть обобщены следующим образом. В любой конечной мультипликативной группе можно рассмотреть совокупность элементов, образованную некоторым элементом g и его степенями g2, g3 и т.д. Так как группа имеет конечное число элементов ,то неизбежно появится повторение, т.е. для некоторых i и j будет gi =gj .
Если наблюдается gi=gj, то gj-i=1. Следовательно, некоторая степень элемента g равна 1. Пусть e – наименьшее положительное число, при котором ge=1. Совокупность элементов 1, g, g2, ..., ge-1 образует подгруппу по операции умножения, т.к. налицо единичный элемент 1, замкнутость, наличие обратных элементов: для gi обратный элемент ge-i. Группа, состоящая из всех степеней одного из ее элементов получила название циклической группы. Число e называется порядком элемента g.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.