Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 52

Из анализа таблиц сложения и умножения делаем выводы:

1) по операции сложения существует единичный элемент 0 и для каждого элемента поля есть обратный – для 0 – 0, для 1 - 3, для 2 – 2, для 3 - 1;

2) по операции умножения существует единичный элемент 1, а обратные элементы существуют для 1 – 1, и для 3 - 3, но для элемента 2 обратного элемента не существует.

Общий вывод: для целых чисел простое поле GF(4) не существует.

4.2.2. Что называют примитивным элементом поля?

Что является примитивным элементом поля:

а) GF(2),

б) GF(3),

в) GF(5).

Ответ: примитивным элементом поля называют ненулевой элемент поля, последовательные степени которого дают все ненулевые элементы поля.

Обозначим примитивный элемент поля через α.

а) для GF(2) α=1;

б) для GF(3) α=2; α²=1; α³=2;

в) для GF(5) α=2; α²=4; α³=3; α⁴=1.

4.2.3. Что называют порядком поля? Группы?

Ответ: порядком поля называют число элементов поля.

4.2.4. Чему равен порядок поля:

а) GF(2)?

б) GF(3)?

в) GF(5)?

г) GF(p)?

Ответ: а) 2; б) 3; в) 5; г) p.

4.2.5. Построить поле GF(2²).

Решение:

Поле – кольцо классов вычетов многочленов по модулю неприводимого примитивного многочлена, т.е. такого неприводимого многочлена, корни которого являются примитивными элементами поля. Для поля GF(2^m) это должен быть неприводимый многочлен над полем GF(2) степени m, принадлежащий максимальному показателю, т.е. e=2^m-1. В рассматриваемом случае e=3, т.е. это должен быть неприводимый многочлен 2-й степени, входящий в разложении двучлена х³+1 и не входящий в разложение двучлена меньшей степени. Этим свойством обладает единственный многочлен х²+х+1, т.к. х³+1=(х+1)(х²+ х+1). Все корни х³+1 являются ненулевыми элементами поля GF(2²): α⁰, α¹, α². При этом α⁰=1 есть корень х+1, а α и α² – корни х²+ х+1. Для получения их в двоичном представлении необходимо разделить αⁱ, где i=1,2 на многочлен π(α)=1+α+α², по модулю которого строится поле и взять в качестве αⁱ остаток от деления на π(α). Тогда получим: