Указание: рассмотреть элементы группы как вектора и воспользоваться понятием базиса векторного пространства.Для каждой подгруппы указать её порядок.
3.1.7.Для каждой найденной подгруппы в п.3.1.6 найти подгруппу из этого же множества с ортогональными векторами. Ортогональности векторов соответствует равенство нулю их скалярного произведения.
3.1.8.Что нужно сделать, чтобы все последовательности длины 5 из п.3.1.5 стали кольцом?
3.1.9.Является ли кольцо из п.3.1.8 полем?
3.1.10.Какие подполя существуют в поле из всех двоичных последовательностей длины 5?
3.1.11.Проверить, что элементы поля GF(22) α и 1+α являются корнями многочлена π(х)=1+х+х2 в двоичном поле.
Упражнение № 2
Тема: Кольца многочленов и поля Галуа.
Время: 2 часа.
Цель: изучить структуру числовых колец и колец многочленов, способы формирования идеалов колец, связь между кольцами классов вычетов многочленов и конечными полями. Получить навыки формирования идеалов заданного порядка.
Изучаемые вопросы:
1. Идеал кольца и классы вычетов кольца целых чисел – по модулю m и многочленов – по модулю многочлена f(х).
2. Размерность идеала кольца классов вычетов многочленов по модулю многочлена f(х)=g(х)h(х), где f(х) имеет степень n, g(х) – степень n-k, h(х) – степень k.
3. Простые и расширенные поля Галуа, подполя.
4. Циклическая группа расширенного поля Галуа, порядок элементов поля (группы), число элементов порядка e.
5. Примитивные элементы поля и примитивные многочлены.
Литература:
1. Часть 1, п.п. 1.3, 1.4.
Перечень задач для проверки степени усвоения вопросов упражнения.
3.2.1.Над полем GF(2) заданы многочлены p1(х)=х3+1 и p2(х)= х4+ х3+ х+1:
a) найти наибольший общий делитель этих многочленов HOД [p1(х), p2(х)] (указание: использовать алгоритм Евклида).
б) найти многочлены A(x) и B(x), удовлетворяющие равенству:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.